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2020年自考02198线性代数复习资料(6)

2020-05-27 09:02:00
来源:湖南自考网www.zikaosw.com

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        6、齐次方程组有非零解的判定

        1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。

        2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0

        3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数

        7、非齐次线性方程组有解的判定

        1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)

        2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b

        ①有唯一解<==>r(A)=r(A增)=n

        ②有无穷多解<==>r(A)=r(A增)

        ③无解<==>r(A)+1=r(A增)

        8、非齐次线性方程组解的结构

        如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。

        1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解

        2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解

        3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)

        四、题型及解题思路

        1、有关n维向量概念与性质的命题

        2、向量的加法与数乘运算

        3、线性相关与线性无关的证明

        1)定义法

        设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!)

        ①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A

        ②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。

        2)用秩(等于向量个数)

        3)齐次方程组只有零解

        4)反证法

        4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

        多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。

        5、求矩阵的秩

        常用初等变换法。

        6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

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