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6、齐次方程组有非零解的判定
1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。
2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0
3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)
2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b
①有唯一解<==>r(A)=r(A增)=n
②有无穷多解<==>r(A)=r(A增)
③无解<==>r(A)+1=r(A增)
8、非齐次线性方程组解的结构
如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。
1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解
2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解
3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)
四、题型及解题思路
1、有关n维向量概念与性质的命题
2、向量的加法与数乘运算
3、线性相关与线性无关的证明
1)定义法
设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!)
①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A
②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。
2)用秩(等于向量个数)
3)齐次方程组只有零解
4)反证法
4、求给定向量组的秩和极大线性无关组
多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。
5、求矩阵的秩
常用初等变换法。
6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组
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