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自考本科:04184线性代数复习资料第三章向量空间(1)

2018-09-04 10:00:29
来源:湖南自考生网

以下是湖南自考生网为考生收集、整理的自考本科:04184线性代数复习资料第三章向量空间(1)

定理3  若向量组中有部分组线性相关,则整体组也必相关,或者整体无关,部分必无关.

 

定理4  无关组的接长向量组必无关.

(三)向量组的极大无关组和向量组的秩

 

  1.向量组等价的概念

若向量组S可以由向量组R线性表出,向量组R也可以由向量组S线性表出,则称这两个向量组等价.

 

  2.向量组的极大无关组

T为一个向量组,若存在T的一个部分组S,它是线性无关的,且T中任一个向量都能由S线性表示,则称部分向量组S为T的一个极大无关组.

显然,线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

对于线性相关的向量组,一般地,它的极大无关组不是唯一的,但有以下性质:

定理1  向量组T与它的任一个极大无关组等价,因而T的任意两个极大无关组等价.

定理2  向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.

 

  3.向量组的秩与矩阵的秩的关系

把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.

把矩阵A的行向量组的秩,称为A的行秩,把A的列向量组的秩称为A的列秩.

定理:对任一个矩阵A,A的列秩=A的行秩=秩(A)

此定理说明,对于给定的向量组,可以按照列构造一个矩阵A,然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.

3  求出下列向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表出:

(四)向量空间

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